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角动量定理和角动量守恒的简单推导

角动量

假设存在一个质点,其质量为\(m\),某时刻下的速度为\(\vec v\),则其动量\(\vec P=m\vec v\)。建立空间直角坐标系,原点为\(O\)\(O\)到这个质点的矢量为\(\vec r\)。用\(\vec L\)表示角动量,则根据角动量的定义:

  1. \[ \vec L = \vec r \times \vec P=\vec r \times m\vec v \]

其中\(\vec r \times m\vec v\)中的运算为向量叉乘,用\(\theta\)表示\(\vec r\)\(\vec v\)的夹角,根据向量叉乘的定义:

  1. \[ \vert \vec L \vert=\vert \vec r \times \vec P \vert= \vert \vec r \times m\vec v \vert = m \vert \vec r \vert \vert \vec v \vert sin(\theta) \]

力矩

\(\tau\)表示力矩,根据力矩的定义:

  1. \[ \vec \tau=\vec r \times \vec F \]

\(\theta\)为力\(\vec F\)与 位置矢量\(\vec r\)的夹角

  1. \[ \vert \vec \tau \vert =\vert \vec r _\bot \vert \vert \vec F \vert= \vert \vec r \vert \vert \vec F \vert \sin(\theta) \]

角动量定理

角动量的变化率等于力矩

  1. \[ \frac{d \vec L}{dt}=\vec \tau \]

证明

将 (1) 和 (3) 式带入 (5),可得

\[ \frac{d(\vec r \times m\vec v)}{dt}=\vec r \times \vec F \]

\(\vec F=m\vec a\),化简可得

\[ \frac{d(\vec r \times \vec v)}{dt}=\vec r \times \vec a \]

根据向量叉乘法则可得

\[ \frac{d(\vert \vec r \vert \vert \vec v \vert sin(\theta))}{dt}=\vert \vec r \vert \vert \vec a \vert sin(\theta) \]

由于\(\vert \vec r \vert sin(\theta)\)为定值,化简可得

\[ \frac{d(\vert \vec v \vert)}{dt}=\vert \vec a \vert \]

显然等式成立😁


角动量守恒

特殊的,当物体受到的力矩为零时,即\(\vec \tau=0\),那么根据 (5) 式,\(\frac{d \vec L}{dt}=0\)

此时物体受到的力矩为零,因此角动量变化率为零,角动量保持不变,这个现象叫做角动量守恒

  1. \[ \vec \tau=0 \to \frac{d \vec L}{dt}=0 \]

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