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角动量定理和角动量守恒的简单推导

角动量

假设存在一个质点,其质量为 $m$ ,某时刻下的速度为 $\vec v$ ,则其动量 $\vec P=m\vec v$。建立空间直角坐标系,原点为 $O$,$O$ 到这个质点的矢量为 $\vec r$。用 $\vec L$ 表示角动量,则根据角动量的定义:

  1. $$
    \vec L = \vec r \times \vec P=\vec r \times m\vec v
    $$

其中 $\vec r \times m\vec v$ 中的运算为向量叉乘,用 $\theta$ 表示 $\vec r$ 和 $\vec v$ 的夹角,根据向量叉乘的定义:

  1. $$
    \vert \vec L \vert=\vert \vec r \times \vec P \vert= \vert \vec r \times m\vec v \vert = m \vert \vec r \vert \vert \vec v \vert sin(\theta)
    $$

力矩

用 $\tau$ 表示力矩,根据力矩的定义:

  1. $$
    \vec \tau=\vec r \times \vec F
    $$

令 $\theta$ 为力 $\vec F$ 与 位置矢量 $\vec r$ 的夹角

  1. $$
    \vert \vec \tau \vert =\vert \vec r _\bot \vert \vert \vec F \vert= \vert \vec r \vert \vert \vec F \vert \sin(\theta)
    $$

角动量定理

角动量的变化率等于力矩

  1. $$
    \frac{d \vec L}{dt}=\vec \tau
    $$

证明

将 (1) 和 (3) 式带入 (5),可得

$$
\frac{d(\vec r \times m\vec v)}{dt}=\vec r \times \vec F
$$

由 $\vec F=m\vec a$ ,化简可得

$$
\frac{d(\vec r \times \vec v)}{dt}=\vec r \times \vec a
$$

根据向量叉乘法则可得

$$
\frac{d(\vert \vec r \vert \vert \vec v \vert sin(\theta))}{dt}=\vert \vec r \vert \vert \vec a \vert sin(\theta)
$$

由于 $\vert \vec r \vert sin(\theta)$ 为定值,化简可得

$$
\frac{d(\vert \vec v \vert)}{dt}=\vert \vec a \vert
$$

显然等式成立 😁


角动量守恒

特殊的,当物体受到的力矩为零时,即 $\vec \tau=0$ ,那么根据 (5) 式, $\frac{d \vec L}{dt}=0$

此时物体受到的力矩为零,因此角动量变化率为零,角动量保持不变,这个现象叫做角动量守恒

  1. $$
    \vec \tau=0 \to \frac{d \vec L}{dt}=0
    $$

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