角动量定理和角动量守恒的简单推导 ⚡
角动量
假设存在一个质点,其质量为 $m$ ,某时刻下的速度为 $\vec v$ ,则其动量 $\vec P=m\vec v$。建立空间直角坐标系,原点为 $O$,$O$ 到这个质点的矢量为 $\vec r$。用 $\vec L$ 表示角动量,则根据角动量的定义:
- $$
\vec L = \vec r \times \vec P=\vec r \times m\vec v
$$
其中 $\vec r \times m\vec v$ 中的运算为向量叉乘,用 $\theta$ 表示 $\vec r$ 和 $\vec v$ 的夹角,根据向量叉乘的定义:
- $$
\vert \vec L \vert=\vert \vec r \times \vec P \vert= \vert \vec r \times m\vec v \vert = m \vert \vec r \vert \vert \vec v \vert sin(\theta)
$$
力矩
用 $\tau$ 表示力矩,根据力矩的定义:
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\vec \tau=\vec r \times \vec F
$$
令 $\theta$ 为力 $\vec F$ 与 位置矢量 $\vec r$ 的夹角
- $$
\vert \vec \tau \vert =\vert \vec r _\bot \vert \vert \vec F \vert= \vert \vec r \vert \vert \vec F \vert \sin(\theta)
$$
角动量定理
角动量的变化率等于力矩
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\frac{d \vec L}{dt}=\vec \tau
$$
证明
将 (1) 和 (3) 式带入 (5),可得
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\frac{d(\vec r \times m\vec v)}{dt}=\vec r \times \vec F
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由 $\vec F=m\vec a$ ,化简可得
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\frac{d(\vec r \times \vec v)}{dt}=\vec r \times \vec a
$$
根据向量叉乘法则可得
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\frac{d(\vert \vec r \vert \vert \vec v \vert sin(\theta))}{dt}=\vert \vec r \vert \vert \vec a \vert sin(\theta)
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由于 $\vert \vec r \vert sin(\theta)$ 为定值,化简可得
$$
\frac{d(\vert \vec v \vert)}{dt}=\vert \vec a \vert
$$
显然等式成立 😁
角动量守恒
特殊的,当物体受到的力矩为零时,即 $\vec \tau=0$ ,那么根据 (5) 式, $\frac{d \vec L}{dt}=0$
此时物体受到的力矩为零,因此角动量变化率为零,角动量保持不变,这个现象叫做角动量守恒
- $$
\vec \tau=0 \to \frac{d \vec L}{dt}=0
$$