角动量定理和角动量守恒的简单推导⚡
角动量
假设存在一个质点，其质量为\(m\)，某时刻下的速度为\(\vec v\)，则其动量\(\vec P=m\vec v\)。建立空间直角坐标系，原点为\(O\)，\(O\)到这个质点的矢量为\(\vec r\)。用\(\vec L\)表示角动量，则根据角动量的定义：
- \[ \vec L = \vec r \times \vec P=\vec r \times m\vec v \]
其中\(\vec r \times m\vec v\)中的运算为向量叉乘，用\(\theta\)表示\(\vec r\)和\(\vec v\)的夹角，根据向量叉乘的定义：
- \[ \vert \vec L \vert=\vert \vec r \times \vec P \vert= \vert \vec r \times m\vec v \vert = m \vert \vec r \vert \vert \vec v \vert sin(\theta) \]
力矩
用\(\tau\)表示力矩，根据力矩的定义：
- \[ \vec \tau=\vec r \times \vec F \]
令\(\theta\)为力\(\vec F\)与 位置矢量\(\vec r\)的夹角
- \[ \vert \vec \tau \vert =\vert \vec r _\bot \vert \vert \vec F \vert= \vert \vec r \vert \vert \vec F \vert \sin(\theta) \]
角动量定理
角动量的变化率等于力矩
- \[ \frac{d \vec L}{dt}=\vec \tau \]
证明
将 (1) 和 (3) 式带入 (5)，可得
\[ \frac{d(\vec r \times m\vec v)}{dt}=\vec r \times \vec F \]
由\(\vec F=m\vec a\)，化简可得
\[ \frac{d(\vec r \times \vec v)}{dt}=\vec r \times \vec a \]
根据向量叉乘法则可得
\[ \frac{d(\vert \vec r \vert \vert \vec v \vert sin(\theta))}{dt}=\vert \vec r \vert \vert \vec a \vert sin(\theta) \]
由于\(\vert \vec r \vert sin(\theta)\)为定值，化简可得
\[ \frac{d(\vert \vec v \vert)}{dt}=\vert \vec a \vert \]
显然等式成立😁
角动量守恒
特殊的，当物体受到的力矩为零时，即\(\vec \tau=0\)，那么根据 (5) 式，\(\frac{d \vec L}{dt}=0\)
此时物体受到的力矩为零，因此角动量变化率为零，角动量保持不变，这个现象叫做角动量守恒
- \[ \vec \tau=0 \to \frac{d \vec L}{dt}=0 \]
