角动量定理和角动量守恒的简单推导 ⚡

角动量

假设存在一个质点，其质量为 $m$ ，某时刻下的速度为 $\vec v$ ，则其动量 $\vec P=m\vec v$。建立空间直角坐标系，原点为 $O$，$O$ 到这个质点的矢量为 $\vec r$。用 $\vec L$ 表示角动量，则根据角动量的定义：

1. $$
   \vec L = \vec r \times \vec P=\vec r \times m\vec v
   $$

其中 $\vec r \times m\vec v$ 中的运算为向量叉乘，用 $\theta$ 表示 $\vec r$ 和 $\vec v$ 的夹角，根据向量叉乘的定义：

2. $$
   \vert \vec L \vert=\vert \vec r \times \vec P \vert= \vert \vec r \times m\vec v \vert = m \vert \vec r \vert \vert \vec v \vert sin(\theta)
   $$

力矩

用 $\tau$ 表示力矩，根据力矩的定义：

3. $$
   \vec \tau=\vec r \times \vec F
   $$

令 $\theta$ 为力 $\vec F$ 与 位置矢量 $\vec r$ 的夹角

4. $$
   \vert \vec \tau \vert =\vert \vec r _\bot \vert \vert \vec F \vert= \vert \vec r \vert \vert \vec F \vert \sin(\theta)
   $$

角动量定理

角动量的变化率等于力矩

5. $$
   \frac{d \vec L}{dt}=\vec \tau
   $$

证明

将 (1) 和 (3) 式带入 (5)，可得

$$
\frac{d(\vec r \times m\vec v)}{dt}=\vec r \times \vec F
$$

由 $\vec F=m\vec a$ ，化简可得

$$
\frac{d(\vec r \times \vec v)}{dt}=\vec r \times \vec a
$$

根据向量叉乘法则可得

$$
\frac{d(\vert \vec r \vert \vert \vec v \vert sin(\theta))}{dt}=\vert \vec r \vert \vert \vec a \vert sin(\theta)
$$

由于 $\vert \vec r \vert sin(\theta)$ 为定值，化简可得

$$
\frac{d(\vert \vec v \vert)}{dt}=\vert \vec a \vert
$$

显然等式成立 😁

角动量守恒

特殊的，当物体受到的力矩为零时，即 $\vec \tau=0$ ，那么根据 (5) 式， $\frac{d \vec L}{dt}=0$

此时物体受到的力矩为零，因此角动量变化率为零，角动量保持不变，这个现象叫做角动量守恒

6. $$
   \vec \tau=0 \to \frac{d \vec L}{dt}=0
   $$

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