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比耐公式的简单推导

中心力场问题

在中心力场问题中,由于某一物体只受到来自中心一固定点的力,根据力矩的定义:

\[ \vec \tau=\vec r \times \vec F,\vert \vec \tau \vert =\vert \vec r _\bot \vert \vert \vec F \vert= \vert \vec r \vert \vert \vec F \vert \sin(\theta) \]

由于力与位置矢量的夹角为零,因此该物体的力矩大小为零,又根据角动量定理

\[ \frac{d \vec L}{dt}=\vec \tau \]

所以此物体的角动量守恒,中心力场问题是平面的


比耐公式

推导过程

由于中心力场问题的平面性,建立以\(O\)为原点的极坐标系,原点与物体的位置矢量为\(\vec r\),夹角为\(\theta\),且径向单位矢量\(\vec e_{i}=\vec e_{i}(\theta (t))\),角向单位矢量\(\vec e_{j}=\vec e_{j}(\theta (t))\),则

\[ \vec r=r\vec e_{i} \]

\(\vec e_{i}\)\(\vec e_{j}\)是以角度为自变量的单位向量函数,且

\[ \frac{d\vec e_{i}}{dt}=\frac{d\theta}{dt}\vec e_{j},\frac{d\vec e_{j}}{dt}=-\frac{d\theta}{dt}\vec e_{i} \]


速度矢量\(\vec v\)

\(\vec r\)求导可得速度矢量\(\vec v\)

  1. \[ \vec v=\frac{d\vec r}{dt}=\frac{d(r\vec e_{i})}{dt}=\frac{dr}{dt}\vec e_{i}+r\frac{d\vec e_{i}}{dt}=\frac{dr}{dt}\vec e_{i}+r\frac{d\theta}{dt}\vec e_{j} \]

加速度矢量\(\vec a\)

\(\vec v\)求导可得加速度矢量\(\vec a\)

\[ \vec a=\frac{d\vec v}{dt}=\frac{d(\frac{dr}{dt}\vec e_{i}+r\frac{d\theta}{dt}\vec e_{j})}{dt}=\frac{d^2r}{dt^2}\vec e_{i}+\frac{dr}{dt}\frac{d\vec e_{i}}{dt}+\frac{dr}{dt}\frac{d\theta}{dt}\vec e_{j}+r\frac{d^2\theta}{dt^2}\vec e_{j}+r\frac{d\theta}{dt}\frac{d\vec e_{j}}{dt} \]

上式化简得

\[ \vec a=\frac{d^2r}{dt^2}\vec e_{i}+\frac{dr}{dt}\frac{d\theta}{dt}\vec e_{j}+\frac{dr}{dt}\frac{d\theta}{dt}\vec e_{j}+r\frac{d^2\theta}{dt^2}\vec e_{j}-r\frac{d\theta}{dt}\frac{d\theta}{dt}\vec e_{i} \]

  1. \[ \vec a=(\frac{d^2r}{dt^2}-r(\frac{d\theta}{dt})^2)\vec e_{i}+(2\frac{dr}{dt}\frac{d\theta}{dt}+r\frac{d^2\theta}{dt^2})\vec e_{j} \]

联立牛顿第二定律

将 (2) 式 与\(\vec F=m\vec a\)结合得

\[ \vec F=m((\frac{d^2r}{dt^2}-r(\frac{d\theta}{dt})^2)\vec e_{i}+(2\frac{dr}{dt}\frac{d\theta}{dt}+r\frac{d^2\theta}{dt^2})\vec e_{j}) \]

由于在中心场问题中,物体仅受到径向的作用力,所以\(\vec e_{j}\)的系数为零,即

  1. \[ \left\{ \begin{aligned} &F=m(\frac{d^2r}{dt^2}-r(\frac{d\theta}{dt})^2) \\ &m(2\frac{dr}{dt}\frac{d\theta}{dt}+r\frac{d^2\theta}{dt^2})=0 \\ \end{aligned} \right. \]

\(h=r^2\frac{d\theta}{dt},u=\frac{1}{r}\),可得

\[ \frac{dr}{dt}=\frac{dr}{d\theta}\frac{d\theta}{dt}=-h\frac{du}{d\theta} \]

  1. \[ \frac{d^2r}{dt^2}=\frac{d(\frac{dr}{dt})}{dt}=\frac{d(\frac{dr}{dt})}{d\theta}\frac{d\theta}{dt}=-h^2 u^2 \frac{d^2u}{d\theta ^2} \]

将 (4) 式代入 (3) 可得

\[ F=m(-h^2 u^2 \frac{d^2u}{d\theta ^2}-h^2 u^3)=-mh^2 u^2 (\frac{d^2u}{d\theta ^2}+u) \]

\[ -\frac{F}{m}=h^2 u^2 (\frac{d^2u}{d\theta ^2}+u) \]

结论

当某物体仅受到来自一中心点的力时,其轨道方程为:

  1. \[ -\frac{F}{m}=h^2 u^2 (\frac{d^2u}{d\theta ^2}+u) \]

\(F\)为该物体受到来自中心的径向力,\(m\)为该物体的质量,\(h=r^2\frac{d\theta}{dt}\)\(u=\frac{1}{r}\)\(t\)为时间,\(\theta\)为极坐标系中位置矢量与x轴的夹角,\(r\)为物体与中心的距离

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