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比耐公式的简单推导

中心力场问题

在中心力场问题中,由于某一物体只受到来自中心一固定点的力,根据力矩的定义:

$$
\vec \tau=\vec r \times \vec F,\vert \vec \tau \vert =\vert \vec r _\bot \vert \vert \vec F \vert= \vert \vec r \vert \vert \vec F \vert \sin(\theta)
$$

由于力与位置矢量的夹角为零,因此该物体的力矩大小为零,又根据角动量定理

$$
\frac{d \vec L}{dt}=\vec \tau
$$

所以此物体的角动量守恒,中心力场问题是平面的


比耐公式

推导过程

由于中心力场问题的平面性,建立以 $O$ 为原点的极坐标系,原点与物体的位置矢量为 $\vec r$,夹角为 $\theta$,且径向单位矢量 $\vec e_{i}=\vec e_{i}(\theta (t))$,角向单位矢量 $\vec e_{j}=\vec e_{j}(\theta (t))$,则

$$
\vec r=r\vec e_{i}
$$

$\vec e_{i}$ 和 $\vec e_{j}$ 是以角度为自变量的单位向量函数,且

$$
\frac{d\vec e_{i}}{dt}=\frac{d\theta}{dt}\vec e_{j},\frac{d\vec e_{j}}{dt}=-\frac{d\theta}{dt}\vec e_{i}
$$


速度矢量 $\vec v$

对 $\vec r$ 求导可得速度矢量 $\vec v$

  1. $$
    \vec v=\frac{d\vec r}{dt}=\frac{d(r\vec e_{i})}{dt}=\frac{dr}{dt}\vec e_{i}+r\frac{d\vec e_{i}}{dt}=\frac{dr}{dt}\vec e_{i}+r\frac{d\theta}{dt}\vec e_{j}
    $$

加速度矢量 $\vec a$

对 $\vec v$ 求导可得加速度矢量 $\vec a$

$$
\vec a=\frac{d\vec v}{dt}=\frac{d(\frac{dr}{dt}\vec e_{i}+r\frac{d\theta}{dt}\vec e_{j})}{dt}=\frac{d^2r}{dt^2}\vec e_{i}+\frac{dr}{dt}\frac{d\vec e_{i}}{dt}+\frac{dr}{dt}\frac{d\theta}{dt}\vec e_{j}+r\frac{d^2\theta}{dt^2}\vec e_{j}+r\frac{d\theta}{dt}\frac{d\vec e_{j}}{dt}
$$

上式化简得

$$
\vec a=\frac{d^2r}{dt^2}\vec e_{i}+\frac{dr}{dt}\frac{d\theta}{dt}\vec e_{j}+\frac{dr}{dt}\frac{d\theta}{dt}\vec e_{j}+r\frac{d^2\theta}{dt^2}\vec e_{j}-r\frac{d\theta}{dt}\frac{d\theta}{dt}\vec e_{i}
$$

  1. $$
    \vec a=(\frac{d^2r}{dt^2}-r(\frac{d\theta}{dt})^2)\vec e_{i}+(2\frac{dr}{dt}\frac{d\theta}{dt}+r\frac{d^2\theta}{dt^2})\vec e_{j}
    $$

联立牛顿第二定律

将 (2) 式 与 $\vec F=m\vec a$ 结合得

$$
\vec F=m((\frac{d^2r}{dt^2}-r(\frac{d\theta}{dt})^2)\vec e_{i}+(2\frac{dr}{dt}\frac{d\theta}{dt}+r\frac{d^2\theta}{dt^2})\vec e_{j})
$$

由于在中心场问题中,物体仅受到径向的作用力,所以 $\vec e_{j}$ 的系数为零,即

  1. $$
    \left{
    \begin{aligned}
    &F=m(\frac{d^2r}{dt^2}-r(\frac{d\theta}{dt})^2) \
    &m(2\frac{dr}{dt}\frac{d\theta}{dt}+r\frac{d^2\theta}{dt^2})=0 \
    \end{aligned}
    \right.
    $$

令 $h=r^2\frac{d\theta}{dt},u=\frac{1}{r}$ ,可得

$$
\frac{dr}{dt}=\frac{dr}{d\theta}\frac{d\theta}{dt}=-h\frac{du}{d\theta}
$$

  1. $$
    \frac{d^2r}{dt^2}=\frac{d(\frac{dr}{dt})}{dt}=\frac{d(\frac{dr}{dt})}{d\theta}\frac{d\theta}{dt}=-h^2 u^2 \frac{d^2u}{d\theta ^2}
    $$

将 (4) 式代入 (3) 可得

$$
F=m(-h^2 u^2 \frac{d^2u}{d\theta ^2}-h^2 u^3)=-mh^2 u^2 (\frac{d^2u}{d\theta ^2}+u)
$$

$$
-\frac{F}{m}=h^2 u^2 (\frac{d^2u}{d\theta ^2}+u)
$$

结论

当某物体仅受到来自一中心点的力时,其轨道方程为:

  1. $$

-\frac{F}{m}=h^2 u^2 (\frac{d^2u}{d\theta ^2}+u)
$$

$F$ 为该物体受到来自中心的径向力,$m$ 为该物体的质量,$h=r^2\frac{d\theta}{dt}$,$u=\frac{1}{r}$,$t$ 为时间,$\theta$ 为极坐标系中位置矢量与x轴的夹角,$r$ 为物体与中心的距离

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