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傅里叶级数(三角函数形式)

推导过程

任何满足狄利克雷条件的周期函数 $f(x)$ 可分解成正弦函数和余弦函数的组合

$$
f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{+\infty} a_{n}cos(n\omega x)+\sum_{n=1}^{+\infty} b_{n}sin(n\omega x)
$$

  • 在 (1) 中,函数周期 $T=\frac{2\pi}{\omega}$,$a_{0}$、$a_{n}$、$b_{n}$ 均是常数
  • 狄利克雷条件:函数值有限,存在有限个间断点和有限个极值点

$\frac{a_{0}}{2}$ 的值

对 (1) 两边从 $t_{0}$ 到 $t_{0}+T$ 积分

$$
\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(x)dx=\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}\frac{a_{0}}{2}dx+\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}\sum_{n=1}^{+\infty} a_{n}cos(n\omega x)dx+\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}\sum_{n=1}^{+\infty}b_{n}sin(n\omega x)dx
$$

化简

$$
\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(x)dx=\frac{a_{0}}{2}T+0+0
$$

$$
\frac{a_{0}}{2}=\frac{\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(x)dx}{T}
$$

  • 由于三角函数集的正交性

$$
\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}\sum_{n=1}^{+\infty} a_{n}cos(n\omega x)dx=0,\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}\sum_{n=1}^{+\infty}b_{n}sin(n\omega x)dx=0
$$

  • $\frac{a_{0}}{2}$ 是一个常数项,之所以不写成 $k$,是因为将 $0$ 带入 $\frac{a_{n}}{2}$ ,恰好可得出此常数的值

$a_{n}$ 的值

对 (1) 两边同时乘以 $cos(m\omega x)$ ,并从 $t_{0}$ 到 $t_{0}+T$ 积分

$$
\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(x)cos(m\omega x)dx=\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}\frac{a_{0}}{2}cos(m\omega x)dx+\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}\sum_{n=1}^{+\infty} a_{n}cos(n\omega x)cos(m\omega x)dx+\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}\sum_{n=1}^{+\infty}b_{n}sin(n\omega x)cos(m\omega x)dx
$$

化简
$$
\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(x)cos(m\omega x)dx=0+\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}\sum_{n=1}^{+\infty} a_{n}cos(n\omega x)cos(m\omega x)dx+0
$$

$$
\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(x)cos(m\omega x)dx=\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}\sum_{n=1}^{+\infty} a_{n}cos(n\omega x)cos(m\omega x)dx
$$

$$
\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(x)cos(m\omega x)dx=a_{n}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}cos^2(n\omega x)dx
$$

$$
\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(x)cos(m\omega x)dx=\frac{a_{n}}{2}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}1+cos(2n\omega x)dx
$$

$$
\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(x)cos(m\omega x)dx=\frac{a_{n}}{2}T
$$

得到

$$
a_{n}=\frac{2}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(x)cos(m\omega x)dx
$$

  • $cos(m\omega x)$ 中的 $m$ 为任意一个不等于 $n$ 的常数
  • 由于三角函数集的正交性
    $$
    \int_{t_{0}}^{t_{0}+T}\frac{a_{0}}{2}cos(m\omega x)dx=0,\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}\sum_{n=1}^{+\infty}b_{n}sin(n\omega x)cos(m\omega x)dx=0
    $$

  • $$
    \int_{t_{0}}^{t_{0}+T}\sum_{n=1}^{+\infty} a_{n}cos(n\omega x)cos(m\omega x)dx
    $$
    中,当且仅当 $n=m$ 时,积分不为 $0$

$b_{n}$ 的值

同理可得

$$
b_{n}=\frac{2}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(x)sin(m\omega x)dx
$$


结论

综上所述,任何满足狄利克雷条件的周期函数 $f(x)$ 可分解成正弦函数和余弦函数的组合

  1. $$
    f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{+\infty} a_{n}cos(n\omega x)+\sum_{n=1}^{+\infty}b_{n}sin(n\omega x)
    $$

其中

  1. $$
    \frac{a_{0}}{2}=\frac{\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(x)dx}{T}
    $$

  2. $$
    a_{n}=\frac{2}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(x)cos(n\omega x)dx
    $$

  3. $$
    b_{n}=\frac{2}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(x)sin(n\omega x)dx
    $$

  • 狄利克雷条件:函数值有限,存在有限个间断点和有限个极值点
  • 将 $0$ 带入 $\frac{a_{n}}{2}$ ,得到 $\frac{a_{0}}{2}$

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