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傅里叶连续变换

推导

联立 (5) 和 (6) ,可得

$$
f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}(\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(x)e^{-in\omega x}dx)e^{in\omega x}=\frac{1}{2\pi}\sum_{n=-\infty}^{\infty}(\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(x)e^{-in\omega x}dx)e^{in\omega x}\omega
$$

注意:$T=\frac{2\pi}{\omega}$


化离散为连续

首先,令周期 $T\to +\infty$,则 $\omega \to 0$,因而 $n\omega \to 0$,所以以 $n$ 为变量的离散求和就变成连续的积分,(7) 式可转换成以下形式

$$
f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}(\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{-i\omega x}dx)e^{i\omega x}d\omega
$$

想象一下 $n$ 是从 $(-\infty \to \infty)$ 的整数集合,而此时 $\omega$ 是无穷小量,那么 $n\omega$ 不就代表着数轴上的全体实数吗?所以根据积分的定义,离散的求和可以转换成立以 $\omega$ 为无穷小量的,从负无穷到正无穷的积分

$$
F(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{-i\omega x}dx
$$

则可得出

$$
f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}(F(\omega))e^{i\omega x}d\omega
$$


结论

综上所述,任何满足狄利克雷条件,并且平方可积的函数 $f(x)$ 可以进行傅里叶变换

傅里叶变换

  1. $$
    F(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{-i\omega x}dx
    $$

傅里叶逆变换

  1. $$
    f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}(F(\omega))e^{i\omega x}d\omega
    $$

傅里叶变换是人为地将时域转换成频域,进而分析函数的一种手段。

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