天梯

会当凌绝顶,一览众山小

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傅里叶连续变换

推导

联立 (5) 和 (6) ,可得

\[ f(x)=\sum^{\infty}_{n=-\infty}(\frac{1}{T}\int^{t^{0}+T}_{t_{0}}f(x)e^{-in\omega x}dx)e^{in\omega x}=\frac{1}{2\pi}\sum^{\infty}_{n=-\infty}(\int^{t^{0}+T}_{t_{0}}f(x)e^{-in\omega x}dx)e^{in\omega x}\omega \]

注意:\(T=\frac{2\pi}{\omega}\)


化离散为连续

首先,令周期\(T\to +\infty\),则\(\omega \to 0\),因而\(n\omega \to 0\),所以以\(n\)为变量的离散求和就变成连续的积分,(7) 式可转换成以下形式

\[ f(x)=\frac{1}{2\pi}\int^{+\infty}_{-\infty}(\int^{+\infty}_{-\infty}f(x)e^{-i\omega x}dx)e^{i\omega x}d\omega \]

想象一下\(n\)是从\((-\infty \to \infty)\)的整数集合,而此时\(\omega\)是无穷小量,那么\(n\omega\)不就代表着数轴上的全体实数吗?所以根据积分的定义,离散的求和可以转换成立以\(\omega\)为无穷小量的,从负无穷到正无穷的积分

\[ F(\omega)=\int^{+\infty}_{-\infty}f(x)e^{-i\omega x}dx \]

则可得出

\[ f(x)=\frac{1}{2\pi}\int^{+\infty}_{-\infty}(F(\omega))e^{i\omega x}d\omega \]


结论

综上所述,任何满足狄利克雷条件,并且平方可积的函数\(f(x)\)可以进行傅里叶变换

傅里叶变换

  1. \[ F(\omega)=\int^{+\infty}_{-\infty}f(x)e^{-i\omega x}dx \]

傅里叶逆变换

  1. \[ f(x)=\frac{1}{2\pi}\int^{+\infty}_{-\infty}(F(\omega))e^{i\omega x}d\omega \]

傅里叶变换是人为地将时域转换成频域,进而分析函数的一种手段。

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