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傅里叶连续变换

推导

联立 (5) 和 (6) ，可得

$$
f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}(\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(x)e^{-in\omega x}dx)e^{in\omega x}=\frac{1}{2\pi}\sum_{n=-\infty}^{\infty}(\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(x)e^{-in\omega x}dx)e^{in\omega x}\omega
$$

注意：$T=\frac{2\pi}{\omega}$

化离散为连续

首先，令周期 $T\to +\infty$，则 $\omega \to 0$，因而 $n\omega \to 0$，所以以 $n$ 为变量的离散求和就变成连续的积分，(7) 式可转换成以下形式

$$
f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}(\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{-i\omega x}dx)e^{i\omega x}d\omega
$$

想象一下 $n$ 是从 $(-\infty \to \infty)$ 的整数集合，而此时 $\omega$ 是无穷小量，那么 $n\omega$ 不就代表着数轴上的全体实数吗？所以根据积分的定义，离散的求和可以转换成立以 $\omega$ 为无穷小量的，从负无穷到正无穷的积分

令

$$
F(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{-i\omega x}dx
$$

则可得出

$$
f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}(F(\omega))e^{i\omega x}d\omega
$$

结论

综上所述，任何满足狄利克雷条件，并且平方可积的函数 $f(x)$ 可以进行傅里叶变换

傅里叶变换

7. $$
   F(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{-i\omega x}dx
   $$

傅里叶逆变换

8. $$
   f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}(F(\omega))e^{i\omega x}d\omega
   $$

傅里叶变换是人为地将时域转换成频域，进而分析函数的一种手段。

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