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傅里叶连续变换
推导
联立 (5) 和 (6) ，可得
\[ f(x)=\sum^{\infty}_{n=-\infty}(\frac{1}{T}\int^{t^{0}+T}_{t_{0}}f(x)e^{-in\omega x}dx)e^{in\omega x}=\frac{1}{2\pi}\sum^{\infty}_{n=-\infty}(\int^{t^{0}+T}_{t_{0}}f(x)e^{-in\omega x}dx)e^{in\omega x}\omega \]
注意：\(T=\frac{2\pi}{\omega}\)
化离散为连续
首先，令周期\(T\to +\infty\)，则\(\omega \to 0\)，因而\(n\omega \to 0\)，所以以\(n\)为变量的离散求和就变成连续的积分，(7) 式可转换成以下形式
\[ f(x)=\frac{1}{2\pi}\int^{+\infty}_{-\infty}(\int^{+\infty}_{-\infty}f(x)e^{-i\omega x}dx)e^{i\omega x}d\omega \]
想象一下\(n\)是从\((-\infty \to \infty)\)的整数集合，而此时\(\omega\)是无穷小量，那么\(n\omega\)不就代表着数轴上的全体实数吗？所以根据积分的定义，离散的求和可以转换成立以\(\omega\)为无穷小量的，从负无穷到正无穷的积分
令
\[ F(\omega)=\int^{+\infty}_{-\infty}f(x)e^{-i\omega x}dx \]
则可得出
\[ f(x)=\frac{1}{2\pi}\int^{+\infty}_{-\infty}(F(\omega))e^{i\omega x}d\omega \]
结论
综上所述，任何满足狄利克雷条件，并且平方可积的函数\(f(x)\)可以进行傅里叶变换
傅里叶变换
- \[ F(\omega)=\int^{+\infty}_{-\infty}f(x)e^{-i\omega x}dx \]
傅里叶逆变换
- \[ f(x)=\frac{1}{2\pi}\int^{+\infty}_{-\infty}(F(\omega))e^{i\omega x}d\omega \]
傅里叶变换是人为地将时域转换成频域，进而分析函数的一种手段。
