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傅里叶级数(指数形式)

推导过程

根据欧拉公式 $e^{i\theta} = cos(\theta)+isin(\theta)$ 可得

$$
cos(\theta)=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2},sin(\theta)=-\frac{i(e^{i\theta}-e^{-i\theta})}{2}
$$

将上式代入 (1)

$$
f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{+\infty} a_{n}\frac{e^{in\omega x}+e^{-in\omega x}}{2}+\sum_{n=1}^{+\infty}b_{n}(-\frac{i(e^{in\omega x}-e^{-in\omega x})}{2})
$$

化简

$$
f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{a_{n}-ib_{n}}{2} e^{in\omega x}+\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{a_{n}+ib_{n}}{2} e^{-in\omega x}
$$

由于
$$
\frac{a_{0}}{2}=\sum_{n=0}^{0}\frac{a_{0}}{2}e^{in\omega x},\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{a_{n}+ib_{n}}{2} e^{-in\omega x}=\sum_{n=-\infty}^{-1} \frac{a_{-n}+ib_{-n}}{2} e^{in\omega x}
$$

$$
f(x)=\sum_{n=0}^{0}\frac{a_{0}}{2}e^{in\omega x}+\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{a_{n}-ib_{n}}{2} e^{in\omega x}+\sum_{n=-\infty}^{-1} \frac{a_{-n}+ib_{-n}}{2} e^{in\omega x}
$$

显然

$$
f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}C_{n}e^{in\omega x}
$$

$$
其中 C_{n}=
\begin{cases}
\frac{a_{0}}{2}&,n=0 \\
\frac{a_{n}-ib_{n}}{2}&,n>0 \\
\frac{a_{-n}+ib_{-n}}{2}&,n<0
\end{cases}
$$

$C_{n}$ 的值

当 $n=0$ 时,根据 (2)

$$
C_{n}=C_{0}=\frac{a_{0}}{2}=\frac{\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(x)dx}{T}=\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(x)e^{-in\omega x}dx (n=0)
$$

当 $n>0$ 时,根据 (3) 和 (4)

$$
C_{n}=\frac{a_{n}-ib_{n}}{2}=\frac{1}{2}(\frac{2}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(x)cos(n\omega x)dx-i\frac{2}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(x)sin(n\omega x)dx)
$$

化简得

$$
C_{n}=\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(x)e^{-in\omega x}dx
$$

当 $n<0$ 时,根据 (3) 和 (4)

$$
C_{n}=\frac{a_{-n}+ib_{-n}}{2}=\frac{1}{2}(\frac{2}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(x)cos(-n\omega x)dx+i\frac{2}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(x)sin(-n\omega x)dx)
$$

化简得

$$
C_{n}=\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(x)e^{-in\omega x}dx
$$

因此,当 $n\in(-\infty,+\infty)$ 时

$$
C_{n}=\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(x)e^{-in\omega x}dx
$$


结论

综上所述,任何满足狄利克雷条件的周期函数 $f(x)$ 可写成以下指数形式

  1. $$
    f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}C_{n}e^{in\omega x}
    $$

其中

  1. $$
    C_{n}=\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(x)e^{-in\omega x}dx
    $$

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